Hukum Kepler dan Hukum Newton

Hukum Kepler ini telah dicetuskan Kepler setengah abad sebelum Newton mengajukan ketiga Hukum-nya tentang gerak dan hukum gravitasi universal. Di antara hasil karya Kepler, terdapat tiga penemuan yang sekarang kita kenal sebagai Hukum Kepler mengenai gerak planet.

Hukum Kepler dibagi menjadi tiga bagian, yaitu :

1.      Hukum Kepler 1 mengenai bentuk lintasan Planet;

2.      Hukum Kepler 2 mengenai luas daerah sapuan Planet dibandingkan dengan selang waktu;

3.      Hukum Kepler 3 mengenai perbandingan antara perioda dengan jarii-jari lintasan.

Hukum Kepler 1

Hukum Kepler yang pertama berbunyi :

“Setiap planet bergerak dalam lintasan elips dan matahari berada disalah satufokusnya”

Pada waktu itu pernyataan ini dianggap radikal, karena kepercayaan yang berlaku pada saat itu memandang bahwa orbit harus didasari dengan lingkaran sempurna. Pengamatan ini sangat penting pada saat itu karena mendukung pandangan alam semesta menurut Kopernikus. Ini tidak berarti ia kehilangan relevansi dalam konteks yang lebih modern.

Pada saat itu Kepler sendiri tidak mengetahui alasan mengapa planet bergerak dengan cara demikian. Ketika mulai tertarik dengan gerak planet-planet, Newton menemukan bahwa ternyata hukum-hukum Kepler ini bisa diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten dengan Hukum Kepler.

Dimensi paling panjang pada orbit elips diatas disebut sumbu mayor alias sumbu utama, dengan setengah panjang a. Setengah panjang ini disebut sumbu semiutama alias semimayor. F₁ dan F₂ adalah titik Fokus. Matahari berada pada F₁ dan planet berada pada P. Tidak ada benda langit lainnya pada F₂. Total jarak dari F₁ ke P dan F₂ ke P sama untuk semua titik dalam kurva elips. Jarak pusat elips (O) dan titik fokus (F₁ dan F₂) adalah ea, di mana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar antara 0 sampai 1, disebut juga eksentrisitas. Jika e = 0 maka elips berubah menjadi lingkaran. Kenyataanya, orbit planet berbentuk elips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian besar eksentrisitas tidak pernah bernilai nol. Nilai e untuk orbit planet bumi adalah 0,017. Perihelion merupakan titik yang terdekat dengan matahari, sedangkan titik terjauh adalah aphelion.

Hukum Kepler 2

Hukum Kepler kedua ini berbunyi : “Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama”.

Pada selang waktu yang sangat kecil, garis yang menghubungkan antara matahari dengan planet melewati sudut (misal : dθ ). Garis tersebut melewati daerah sapuan yang berjarak r, dan luas daerah sapuan dA=1/2 r² dθ . Sementara laju planet ketika melewati daerah itu adalah dA/dt. disebut kecepatan sektor.

^{dA/dt =  1/2}r² dθ /dt

Hal yang paling utama dalam Hukum II Kepler adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik sepanjang orbit yang berbentuk elips. Ketika planet berada di perihelion, nilai r kecil, sedangkan dθ/dt besar. Ketika planet berada di aphelion, nilai r besar, sedangkan dθ/dt kecil. 

Hukum Kepler 3

Planet yang terletak jauh dari matahari memiliki perioda orbit yang lebih panjang dari planet yang dekat letaknya. Hukum Kepler ketiga menjabarkan hal tersebut secara kuantitatif.

“Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata‐rata planet‐planet tersebut dari matahari”.

Jika T₁ dan T₂ mewakili periode dua buah planet berbeda, dan r₁ dan r₂ mewakili jari-jari semimayor antara dua planet tersebut, maka dapat ditulis sebagai persamaan :

                    Dengan kata lain persamaan diatas dapat ditulis kembali sebagai persamaan

baru sebagai berikut :

ini berarti untuk setiap planet harus memiliki nilai r^3/T^2  yang sama.

                             Berikut adalah data mengenai jari-jari semimayor dan waktu periode planet- 

                     planet yang  menjadi dasar pemikiran Kepler terhadap hukum Kepler 3. 

                     Pendekatan Hukum Kepler 3 dengan Hukum Newton 

Menurut pendapat Isaac Newton, Hukum Kepler 3 dapat diturunkan secara matematis dan da[at dihubungkan dengan Hukum Newton mengenai Gaya Gravitasi Universal dan pergerakan sentripetal. Dari rumus awal hukum Kepler 3

apabila ditinjau dengan hukum Newton kedua dan hukum gerak melingkar, maka dapat dituliskan dalam persamaan berikut :

   δF = ma ….. Persamaan hukum Newton II

    Frad = m arad   …...Persamaan Gerak melingkar

dengan arad adalah percepatan sentripetal = v^2/r

apabila ditinjau dengan hukum Newton kedua dan hukum gerak melingkar, maka dapat dituliskan dalam persamaan berikut :

sehingga jika diturunkan dengan pendekatan Hukum Newton II akan menjadi persamaan sebagai berikut : 

      m₁ adalah massa planet pertama (akan dibandingkan dengan planet kedua) , m­_M adalah massa matahari. r ₁ adalah jari-jari rata-rata planet terhadap matahari, sedangkan v₁ adalah kelajuan orbit rata-rata planet pertama.  Waktu yang diperlukan sebuah planet untuk menyelesaikan satu orbit adalah T₁, di mana jarak tempuhnya sama dengan keliling lingkaran ( 2πr₁ ) . Dengan demikian, besar v₁ adalah :

Apabila metode yang sama dilakukan untuk planet kedua dengan jari-jari dan massa yang berbeda maka akan didapat persamaan umum yang sama. Dengan r₂ , m₂, T₂ berturut-turut adalah jari-jari rata-rata planet dengan matahari, massa planet dan periode orbit planet.

Perhatikan ruas kanan pada persamaan 1 dan persamaan 2, nilai antara ruas kanan persamaan 1 dan 2 adalah sama. oleh karena itu, maka apabila persamaan 1 dan 2 digabungkan maka akan menjadi persamaan hukum Kepler 3.

Hukum Kepler 3 relevan dengan konsep gerak melingkar dan gaya gravitasi universal hasil temuan Isaac Newton dan dapat dibuktikan secara matematis.

Pustaka :

Daton, Goris. S., . (2007) . Fisika SMU XI . Jakarta : Grasindo

Giancoli, Douglas. C., . (2001) . FISIKA Jilid 1 (terjemahan) . Jakarta : Erlangga

Halliday & Resnick . (1991) . Fundamental Of Physics (Ed.1) (terjemahan) .  

 Jakarta : Erlangga

Tipler, P.A., . (1998) . Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan) .

Jakarta : Erlangga

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., . (2002) . Fisika Universitas

 (terjemahan), Jakarta :  Erlangga